La borne de Jacobi : Historique, calcul de la borne et mise en forme normale dans le cas générique.

François Ollivier
ALIEN - INRIA FUTURS

Dans deux articles posthumes, Jacobi a donné une borne fine sur l'ordre d'un système de n équations différentielles ordinaires en n variables : P_i = 0

Si h_i,j est l'ordre de la ième équation en la jème variable, il affirme que l'ordre du système est majoré par le maximum  H des sommes transversales, qui sont les sommes h_1,s(1) +  h_2,s(2) + ... + h_n,s(n), où s est une permutation de {1,2, ..., n}.

Considerons la matrice constituée des dérivées partielles

\partial P_i/\partial x_j^(h_i,j).

Si l'on ne conserve dans cettte matrice que les termes tels que h_i,j intervienne dans une somme transversale, et que l'on remplace les autres par 0, le détermminant de la matrice obbtenue est le déterminant tronqué de Jacobi. Celui-ci affirme que l'ordre est exactement H ssi le déterminant tronqué est non nul.

Plutôt que d'essayer les n! permutation, Jacobi a inventé un algorithme polynomial astucieux pour calculer H. Celui-ci a été entièrement oublié et redécouvert par Harold Kuhn en 1955, qui s'est inspiré des travaux de Ergervary (il a du pour cela apprendre le Hongrois!).

On conclura en suggérant d'utiliser de manière heuristique cette borne et l'ordre adapté qu'elle fourni sur les variables pour calculer un ensemble caractéristique en dérivant les équations de départ le moins de fois possible. (Une idée déjà suggérée par Marc Moreno Maza, Marina V. Kondratieva, and Alexey Ovchinnikov ... OG, M. Kondratieva, M. Moreno Maza, A. Ovchinnikov (cf. http://www.sci.ccny.cuny.edu/~ksda/PostedPapers/ksda_oleg.pdf)

Au delà, on doit pouvoir utiliser le déterminant tronqué à la place du séparant dans une méthode de type Diffalg.

Pour plus de détails, on peut trouver les traductions en français des articles (en latin) a l'url http://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/JACOBI/jacobi.htm

On pourra aussi consulter la traduction de l'interessant article (en russe) de Kondratieva, Mikhalev et Pankratev : http://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/Kondratieva/Kondratieva.htm qui donne une preuve dans le cas régulier.

La méthode de Jacobi consiste a déterminer des entiers l_i minimaux tels que les colonnes de la matrice h_i,j + l_i possèdent des maxima situés dans des colonnes toutes différentes.

(La méthode hongroise de Kuhn est similaire mais s'autorise aussi à ajouter des constantes aux colonnes.)

Jacobi affirme que pour calculer une forme normale, il faut dériver la ième équation au moins l_i fois.

La preuve de Jacobi n'est pas complète et le résultat reste conjectural en toute généralité. On fera un historique des résultats connus a ce jour et l'on exposera ce qui peut être sauvé de l'exposé original de Jacobi.