Exemples traités en Maple 9

Je n'ai pas mis les programmes d'algebre non commutative, mais je les tiens a disposition pour ceux que ca interesse (voir ecole http://www.lifl.fr/mzv2005).

Téléchargement de tous les fichiers en même temps: ecole_UPS.tar

nota bene:
Sur les systemes UNIX, le fichier "ecole_UPS.tar" est décompressé par la commande

tar -xvf ecole_UPS.tar

• Génération de code numérique en Maple

  L'idee est que tout programme numerique s'appuie sur des formules. Ici, il s'agit de calculer la trace du produit de 2 matrices fortement structurées. On met au point les formules en Maple : il apparait une factorisation qui "ecroule" la complexite du calcul. On peut depuis Maple etudier le nombre d'operations a effectuer et generer automatiquement le code numerique: generationC.mw

• Bases de Groebner

  1. Exemple introductif: xgroebner.mw.
  2. Cercle orthoptique: orthoptique.mw.

     Il s'agit de retrouver le cercle orthoptique d'une conique par une methode "force brute" en geometrie analytique. Cet exemple m'a ete communiqué par Serge Belhassen au cours de ces journées. Il y a un piege: on pose que par un point M, on peut mener deux tangentes perpendiculaires a la conique, i.e. le produit des pentes a.a' = -1. Mais comme on calcule avec des nombres complexes, il faut preciser que ces deux droites sont distinctes. En effet, une droite isotrope (de pente i ou -i) est perpendiculaire à elle-meme. On pose donc a <> a' en effectuant une "localisation" i.e. en posant qu'il existe une valeur q telle que q.(a-a')=1.

• Algèbre différentielle avec diffalg

  1. Exemple introductif: xdiffalg.mw.

     En théorie du controle, le modèle d'un système commandé est vu comme un système de relations différentielles liant les entrées u(t), les variables d'état x(t) et les sorties y(t).

     Ici, on calcule l'entrée u(t) en fonction des dérivées par rapport au temps de la sortie y(t) et des variables d'état (non dérivées). Ce calcul d'inversion entree/sortie permet de calculer numeriquement (en temps réel) la commande u(t) en fonction de la sortie desirée.

     Il apparait que le systeme traité est plat, i.e. la solution generale du systeme est parametree par la sortie y(t) et ses derivees par rapport au temps. La fonction y(t) est arbitraire. En particulier, l'etat x(t) n'apparait pas dans l'expression de u(t) en fonction de y(t).

  2. Théorie de Galois différentielle: Vessiot.mw.

     C'est un exemple classique traité par Vessiot. On considère une une équation générale linéaire du 3eme ordre et on calcule les conditions pour que ses solutions s'obtiennent en résolvant une équation linéaire du 2eme ordre

  3. Problème d'équivalence: equivalence.mw.

     Le problème d'équivalence consiste à décider si deux équations différentielles se ramènent l'une à l'autre par un changement de variables pris dans un groupe de transformations donné. Ici, on étudie les équations du 2eme ordre y''=f(x, y, y') qui se ramènent à l'équation Painlevé I, Y'' = 6*X^2 + X par un changement de variable de la forme X = x+C, Y = Y(x,y). La constante C et la fonction Y(x,y) sont arbitraires.

• Triangularisation des equations algébriques

  On montre comment "triangulariser" un systeme d'equations polynomiales en utilisant diffalg (initialement prevu pour "simplifier" un système d'equations differentielles. En Maple 10, on dispose du package RegularChains.

  L'exemple traité Painleve.mw est le calcul d'un développement de Laurent pour les equations de Painlevé I et II. Comme ces équations sont non linéaires, on obtient des contraintes sur les coefficients qui sont non linéaires. Il est assez surprenant que de tels developpements de Laurent existent !!