Méthodes seminumériques en algèbre différentielle ;
applications à l'étude des propriétés structurelles de systèmes
différentiels algébriques en automatique
http://www.medicis.polytechnique.fr/~sedoglavAlexandre SEDOGLAVIC
Abstract:
Les travaux présentés dans ce mémoire se basent sur les apports de
l'algèbre différentielle et les méthodes du calcul symbolique pour
résoudre des problèmes d'automatique non linéaire qui ne se prêtent
pas à une résolution numérique directe.
Le problème de l'observabilité algébrique locale consiste à décider si
les variables d'état intervenant dans un modèle peuvent être
déterminées en fonction des entrées et des sorties supposées
parfaitement connues.
Nous présentons un algorithme probabiliste de complexité arithmétique
polynomiale en la taille de l'entrée permettant de tester
l'observabilité algébrique locale en déterminant les variables non
observables. L'utilisation du calcul modulaire permet d'obtenir pour
ce test une complexité binaire elle aussi polynomiale. Cette
complexité dépend linéairement de la probabilité de succès qui peut
être arbitrairement fixée. Une implantation de cet algorithme permet
de traiter des problèmes inaccessibles jusqu'à présent.
À partir de ces méthodes mêlant calcul symbolique et calcul numérique,
nous proposons une généralisation de la notion de platitude
différentielle à certains modèles non linéaires décrits par des
équations aux dérivées partielles. Un système différentiel ordinaire
est différentiellement plat si ses solutions peuvent être localement
paramétrées bijectivement par des fonctions arbitraires.
Pour étudier certains systèmes d'équations aux dérivées partielles non
linéaires, on se ramène à un système d'équations différentielles
ordinaires par discrétisation ; notre approche consiste à chercher des
discrétisations plates telles que les paramétrages associés convergent
lorsque le pas de discrétisation tend vers zéro. Cette méthode est
illustrée par l'étude du problème de planification de trajectoire
réalisée pour trois modèles non linéaires de dimension infinie :
l'équation de la chaleur semilinéaire, l'équation de Burger avec
diffusion et un modèle non linéaire de tige flexible.
Mots clés (MSC 2000) : algèbre différentielle (12H05),
méthode des différences finies (65M06), calcul symbolique (68W30),
observabilité (93B07), systèmes non linéaires (93C10), systèmes
gouvernés par des équations aux dérivées partielles (93C20),
planification de trajectoire, algorithmes seminumériques.
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